Determinar o volume do prisma oblíquo da figura, onde a base é um hexágono regular de aresta 1 m e a aresta lateral que faz um ângulo de 60° com o plano da base mede 2 m .

resposta: Resolução:

$\;H = \frac{2\sqrt{3}}{2}\; = \; \sqrt{3}\;m \Rightarrow $
$A_{Base} = \ell \centerdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \;=\;3 \centerdot \frac{1 \sqrt{3}}{2} \;=\; \frac{3\sqrt{3}}{2} \;\; m^2$
$\;V\; = \; A_{Base} \centerdot H \;=\; \frac{3\sqrt{3}}{2} \centerdot \sqrt{3} \;=\; \frac{9}{2} \;=\;4,5 m^3$

$\; V\;=\;4,5\;m^3$

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Um prisma triangular regular tem a aresta da base igual à altura. Calcular a área total do sólido, sabendo-se que a área lateral é 10 m².

resposta:

Considerações:

Se o prisma triangular é "regular" significa que as bases são triângulos equiláteros e as arestas laterais são perpendiculares aos planos que contém as bases ( → não é um prisma oblíquo).

$\phantom{XX}\,\left\{\begin{array}{rcr} a_{\large b} \longrightarrow & \\ h\;\longrightarrow\; & \\ A_{\mbox{base}} \longrightarrow & \\ \end{array} \right.\,$

aresta da base
altura do prisma$\; = a_{\large b}\,$
área da base, o triângulo equilátero

Resolução:
1. Sabemos que a área lateral é igual a $\;10 m^2\;$
A área lateral é a soma das áreas dos 3 retângulos que são as faces laterais do prisma (veja figura).

$\;A_{\mbox{lateral}} \;=\; 3 \centerdot a_{\large b} \centerdot h \;\;\Longrightarrow \;\; A_{\mbox{lateral}} \;=\; 3 (a_{\large b}) ^2\;\;$ então $\;\;\left(a_{\large b}\right)^2 \;=\; \dfrac{10}{3}$

2. Área da base:
(área do triângulo equilátero de lado $\;{\large \ell}\;$ em função da medida do lado do triângulo vale $\;\dfrac{\ell^2 \sqrt{3}}{4}\;$)

Então $\;A_{\mbox{base}} \;=\;\dfrac{\left(a_{\large b}\right)^2\sqrt{3}}{4}\;\;\Longrightarrow \;\;A_{\mbox{base}}\;=\dfrac{10}{3}\centerdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}\;m^2\;\Longrightarrow$ $\; \;\;A_{\mbox{base}}\;=\dfrac{10\sqrt{3}}{12}\;m^2$

3. Área total:
$A_{\mbox{total}} \;=\;A_{\mbox{lateral}}\,+\,2\centerdot A_{\mbox{base}} \;\;\Longrightarrow \;\;A_{\mbox{total}}\;=\; 10\,+\,2 \centerdot \dfrac{10\sqrt{3}}{12}$

$\;\boxed{\;A_{total}\; = \;10(1 + \dfrac{\sqrt{3}}{6})\;m^2\;}\;$

Calcular a área total de um paralelepípedo cujas faces são losangos congruentes de lados iguais a "a" . Sabe-se que uma diagonal da face também mede "a".

resposta:

Considerações:

Romboedro é o prisma oblíquo que tem todas as faces congruentes e em forma de losango.

O Romboedro não é um prisma regular porque não é reto — suas arestas "laterais" são oblíquas em relação aos "planos das bases".
O enunciado desse exercício descreve um romboedro de aresta "a".

Resolução:

$\,A_{\large f}\,\longrightarrow\,\mbox{Área de uma face}\,$
$\,A_{\large t}\,\longrightarrow\,\mbox{Área total}\,$

$A_{\large f}\,=\,2\centerdot \dfrac{a^{\large 2}\sqrt3}{4}\,\Longrightarrow\;$ $\,A_{\large f}\,=\,\dfrac{a^{\large 2}\sqrt3}{2}\,$

$\,A_{\large t}\,=\,6\centerdot A_{\large f}\,=\,6\centerdot \dfrac{a^{\large 2}\sqrt3}{2}\,\Longrightarrow$

$\,\boxed{\,A_{\large t}\,=\,3a^{\large 2}\sqrt3\,}$

A área total do paralelepípedo é

$\,3a^{\large 2}\sqrt3\,$ unidades de medida de área.
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